FIGURAS GEOGEBRA
DESEMPEÑO:
1. Reconoce el entorno básico de Geogebra a través de la interacción de sus herramientas para construir triángulos semejantes y rectángulos
MÉTODO GRÁFICO:
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
- Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
- Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
- En este último paso hay tres posibilidades:
- Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
- Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
- Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600
2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:
| y = -x + 600 | y = 2x | ||
| x | y | x | y |
| 200 | 400 | 100 | 200 |
| 600 | 0 | 200 | 400 |
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:
 |
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos
rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema
es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema
planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros,
es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres
métodos analíticos.
El método gráfico es una forma fácil y rápida para la
solución de problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste
de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método
gráfico es imposible.
Consiste en representar geométricamente las
restricciones, condiciones técnicas y función objetivo objetivo.
Los pasos necesarios para realizar el método son:
1. hallar las restricciones del problema
2. Las restricciones de no negatividad Xi
≥ 0 confían todos los valores posibles.
3. sustituir ≥ y ≤ por (=) para cada
restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.
4. trazar la línea recta correspondiente a cada
restricción en el plano. La región en cual se encuentra cada restricción, el
área correspondiente a cada restricción lo define el signo correspondiente a
cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después de la recta
trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área correspondiente
5. el espacio en el cual se satisfacen las tres
restricciones es el área factible
Cada punto situado en la frontera del espacio del área
factible, es decir que satisfacen todas las restricciones, representa un punto
factible.
6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo
se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la
pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función
objetivo.
7. la solución óptima puede determinarse al observar
la dirección en la cual aumenta la función objetivo, se procede a graficar la
función objetivo, si es un problema de minimización la solución optima es el
primer punto factible que toque la función Z, y si por lo contrario es un
problema de maximización, será entonces el último de los puntos factibles que
toque la función Z.
Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única
solución, multiples soluciones, solución no acotada y no factible, a
continuación hay un ejemplo de cada caso, en el cual se puede observar la
comparación de la solución obtenida con el método grafico, y la solución
obtenida con el método simplex.
